Regla de la cadena
La regla de la cadena en R3 se puede relacionar de la siguiente manera:
z: variable dependiente
x, y: variables aparentes
s, t: variables independientes
En este caso de la regla de la cadena contiene tres tipos de variables: s y t son variables independientes, x y y se llaman variables intermedias y z es la variable dependiente.
Para recordar la regla de la cadena, es útil dibujar el diagrama de árbol de la figura inicial. Dibujamos ramas desde la variable dependiente z a las variables aparente x y y para indicar que z es una función de x y y. Luego dibuje ramas desde x y y a las variables independientes s y t. En cada rama escriba la derivada parcial correspondiente. Para determinar la derivada parcial de z respecto a s calcule el producto de las derivadas parciales en cada trayectoria desde z hasta s y luego sume los productos:
Y así sucesivamente con las demás variables.
Ejemplo:
Para el siguiente ejemplo se puede facilitar el proceso mediante un diagrama de árbol.
Obteniendo:
A continuación se adjuntan algunos ejemplos adicionales:
Derivadas Direccionales
La derivada direccional de f en un punto (x,y) en la dirección de un vector unitario es:
Si existe el límite.
Ademas se demuestra que si f es una función diferenciable de x y de y , entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario. Y además:
A continuación se adjuntan algunos ejemplos:
Bibliografía:
J, Stewart, Cálculo en Varias Variables. Cengage Learning
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