Clase Nº 27

Campos Vectoriales

Sirven para representar fenómenos naturales tales como:

• Rapidez y dirección del viento
• Magnitud del campo gravitacional en diferentes lugares sobre la superficie terrestre
• Flujo del viento al rededor de alerones en aviones
• Flujo de corriente marina

Ejemplo:

Ejemplo:

Campos Vectoriales Conservativos

Son campos que aparecen en numerosas aplicaciones tales como electricidad, magnetismo. En este caso el campo vectorial es definido como el gradiente de un campo escalar f(x,y,z).

Divergencia y Rotacional 

Cada operación es similar a la derivación, pero una genera un campo vectorial y la otra proporciona un campo escalar.

Divergencia

Rotacional

Bibliografía:

J. Stewart, Cálculo en Varias Variables, Cengage Learning.

Clase Nº 26

En esta clase se realizaron ejercicios sobre las aplicaciones vistas la clase anterior, es decir sobre los centros de masa y el momento de inercia.

A continuación se adjuntan más ejercicios sobre las aplicaciones.

Bibliografía:

J. Stewart, Cálculo en Varias Variables, Cengage Learning.

PRIMERA PRUEBA DEL SEGUNDO BIMESTRE

La primera evaluación del segundo bimestre se llevó a acabo el Jueves 26 de enero del 2017.

Los contenidos a ser evaluados:

1. Incrementos y diferenciales
2. Máximos y mínimosIntegrales múltiples en regiones rectangulares,  más generales
3. Transformación de integrales

Clase Nº 25

Al inicio de esta clase se realizó un ejercicio de integrales, pero ya se mostraron algunos ejercicios sobre el tema en la anterior publicación, así que se revisará un nuevo tema.

Aplicaciones
1. Cálculo de áreas planas
2. Cálculo de volúmenes
3. Cálculo del centro de masa
4. Cálculo de momentos de Inercia
5. Cálculo de probabilidades

Centro de masa
El centro de masa es el punto donde se considera está concentrada la masa de un cuerpo aquí se considera una lámina con densidad variable. Suponga que la lámina ocupa una región D y tiene la función de densidad p (x,y).

Se tienen dos casos:

1. Caso Continuo

2. Caso Discreto

Momentos de Inercia

El momento de inercia (conocido también como segundo momento) de una partícula de masa m respecto a un eje se define como masa por 'r' al cuadrado, donde r es la distancia desde la partícula al eje.

El momento de inercia de la lámina respecto al eje x:

El momento de inercia respecto al eje y es:

Bibliografía:

J. Stewart, Cálculo en Varias Variables, Cengage Learning

Clase Nº 24

En el transcurso de esta clase se realizaron ejercicios sobre integrales dobles y triples con cambio de coordenadas polares y cilíndricas respectivamente.

A continuación se adjuntan mas ejercicios:

Bibliografía:

J,Stewart, Cálculo en Varias Variables, Cengage Learning.

Clase Nº 23

3. De Coordenadas Rectangulares a Esféricas

A continuación se adjuntan algunos ejemplos:

Bibliografía:

J. Stewart, Cálculo en Varias Variables, Cengage Learning

Clase Nº 22

Transformaciones de Integrales Múltiples

Donde:
Se define al Jacobiano como:

Para Integrales Triples:

1. Coordenadas Rectangulares a Coordenadas Polares

Siendo su jacobiano= r

2. Coordenadas Rectangulares a Coordenadas Cilíndricas

Siendo su jacobiano= r

A continuación se adjuntan ejemplos para reforzar el tema:

Bibliografía:

J. Stewart, Cálculo en Varias Variables, Cengage Learning.

Clase Nº 21

Integrales Múltiples

$$En\quad { \Re  }^{ 2 }:$$

$$f:A\rightarrow B\\ x\rightarrow y=f(x)$$

Integrales Dobles

$$En\quad { \Re  }^{ 3 }:\\ f:D\subseteq { \Re  }^{ 2 }\rightarrow \Re \\ \qquad (x,y)\rightarrow z=f(x,y)$$

Integrales Triples

$$En\quad { \Re  }^{ 4 }:\\ f:D\subseteq { \Re  }^{ 3 }\rightarrow \Re \\ \qquad (x,y,z)\rightarrow w=f(x,y,z)$$

Las integrales múltiples se utilizan en muchas aplicaciones en áreas de la ciencia e ingeniería:

Cálculo de áreas

Cálculo de volumenes

Cálculo de masas, centros de masa

Cálculo de promedios

Si f(x,y) es continua en la región cerrada R, entonces f es integrable en R.

Tipos de regiones de Integración

1. Regiones Rectangulares

2. Regiones más generales

Región verticalmente simple

Región Horizontalmente Simple

Ejemplos:

Bibliografía:

J. Stewart, Cálculo en Varias Variables, Cengage Learning.