Clase Nº 4

Distancia de un punto a un plano

De la figura anterior se puede observar que la distancia de D de P1 al plano es igual al valor absoluto de la proyección escalar de b sobre el vector normal n =(a, b, c ).
$$D=\left| { comp }_{ n }b \right| =\frac { \left| n\cdot b \right|  }{ \left| n \right|  } $$
$$D=\frac { \left| a({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 0 })+b({ y }_{ 1 }-{ y }_{ 0 })+c({ z }_{ 1 }-{ z }_{ 0 }) \right|  }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } }  } $$
$$D=\frac { \left| ({ ax }_{ 1 }+{ by }_{ 1 }+{ cz }_{ 1 })-({ ax }_{ 0 }+{ b }y_{ 0 }+{ cz }_{ 0 }) \right|  }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } }  } $$

Puesto que P0 yace en el plano, sus coordenadas satisfacen la ecuación del plano y, por lo tanto, se tiene ax0 +by0+cz0 +d=0. Así, la fórmula para D se puede escribir como:

A continuación se adjunta  un ejemplo

Plano determinado por 3 puntos

Para expresar se recurre al producto mixto, el cual se expresa de la siguiente manera:
$$(\vec { r } -\vec { { r }_{ 0 } } )\cdot (\vec { { r }_{ 2 } } -\vec { { r }_{ 1 } } )\times (\vec { { r }_{ 3 } } -\vec { { r }_{ 1 } } )=0$$

Es decir se obtiene un producto mixto.

$$V=\vec { A } \times \vec { B } \cdot \vec { C } $$

Se debe tomar en cuenta que si el producto mixto es igual a cero, entonces los 3 vectores involucrados son coplanares.

El producto mixto geométricamente, representa el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas son los 3 vectores.

Bibliografía:

J, Stewart, Cálculo en Varias Variables, Cengage Learning

Clase Nº 3

El Plano

En comparación con una recta; Un solo vector paralelo al plano es insuficiente para llevar la “dirección” del plano, pero un vector perpendicular al plano especifica por completo su dirección.

Así, un plano en el espacio se determina por un punto P(x,y,z) en el plano y un vector 'n' que es ortogonal al plano. Este vector ortogonal n se llama vector normal.

El vector normal n es ortogonal a todo vector en el plano dado. En particular, n es ortogonal a r-ro y, por lo tanto, se tiene: 

$$n\cdot (r-{ r }_{ 0 })=0$$

A la ecuación anterior se la conoce como ecuación vectorial del plano.

Si a esta ecuación se le asignan los valores:

$$n=(a,b,c)\\ r=(x,y,z)\\ { r }_{ 0 }=({ x }_{ 0 },{ \quad y }_{ 0 },{ \quad z }_{ 0 })$$

Se obtiene:

$$\left< a,b,c \right> \cdot \left< x-{ x }_{ 0 },y-{ y }_{ 0 },z-{ z }_{ 0 } \right> =0\\ a(x-{ x }_{ 0 })+b(y-{ y }_{ 0 })+c(z-{ z }_{ 0 })=0$$

Esta es la ecuación general del plano, o ecuación escalar del plano.

$$Ax+By+Cz+D=0$$

Ecuación segmentaria del plano

Si se conoce los puntos de corte del plano con los ejes coordenados, se puede escribir los otra ecuación del plano llamada segmentaria.

Partiendo de la ecuación general del plano, se puede obtener la ecuación segmentaria del plano.

$$Ax+By+Cz+D=0$$

$$Ax+By+Cz=-D$$

$$\frac { Ax }{ -D } +\frac { By }{ -D } +\frac { Cz }{ -D } =1$$

$$\frac { x }{ -\frac { D }{ A }  } +\frac { y }{ -\frac { D }{ B }  } +\frac { z }{ -\frac { D }{ C }  } =1$$

Obteniendo:

$$\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } +\frac { z }{ c } =1$$

En donde:

$$a=-\frac { D }{ A } ;\quad b=-\frac { D }{ B } ;\quad c=-\frac { D }{ C } $$

Es decir segmentos en el eje ox, oy, oz respectivamente.

Ecuación Normal del Plano

En el siguiente enlace se puede observar una demostración de las diferentes ecuaciones del plano que han sido vistas en esta clase.

Bibliografía:

J, Stewart, Cálculo en Varias Variables, Cengage Learning

Tomado de: http://slideplayer.es/slide/34612/

Clase Nº 2

Geometría Analítica en el espacio

En $${ \Re  }^{ 2 }\quad f=(x,y)$$
Existen dos posibilidades:
$$y=f(x)\quad \vee \quad x=g(y)$$

GENERALMENTE  las funciones implícitas de dos variables representan una curva en el plano.

Sistemas de funciones implícitas

Como cada función implícita representa una curva, entonces la intersección de estas curvas generan uno o mas puntos de intersección.

En $${ \Re  }^{ 3 }\quad f(x,y,z)=0$$

Geométricamente una función de 2 variables en el espacio representa una superficie con generatriz paralela al eje (oz).

Geométricamente una función de 3 variables en el espacio representa una superficie cuya generatriz no es paralela a ninguno de los ejes.

Si la función en tres variables es de primer grado, entonces generalmente representa un plano en el espacio.

Sistema de ecuaciones implícitas

La intersección de dos superficies genera una curva.

Si se tiene un sistema de 3 funciones implícitas, la intersección de 3 superficies genera un punto.

Bibliografía:

J, Stewart, Cálculo en Varias Variables, Cengage Learning

INTRODUCCIÓN

Es la primera clase y como tal consiste en la presentación de la profesora que impartirá la materia durante el semestre 2016-B, se trata de la Ing. Mónica Mantilla que respectivamente se presenta y da a conocer su sistema de enseñanza y calificación, entre sus indicaciones se encuentran:

VALORES

Se valorará ante todo el respeto y el compañerismo en la relación docente-estudiante y entre estudiantes

ASISTENCIA, CUMPLIMIENTO y PUNTUALIDAD

• Se deberá justificar la inasistencia
• Los atrasos (máximo 10 min)
• Se deberá justificar la entrega de tareas atrasadas.

TAREAS

Para la realización de las tareas de forma física se deben tener en cuenta  las siguientes indicaciones:

• Papel bond tamaño A4
• Margen en todas las hojas usadas
• Encabezado en la primera hoja que debe contener:

Escuela Politécnica Nacional

Carrera

Materia

Nombre

Fecha

Tema

• Presentar en la fecha señalada, se valorará la responsabilidad y cumplimiento
• Una vez registrada la tarea y devuelta con la firma, escanear y subir al Portafolio Estudiantil en la sección EVIDENCIAS.

Contexto

Mi nombre es César Fabricio Guailla Rea, tengo 19 años, soy estudiante de la carrera de Ingeniería Mecánica en la Escuela Politécnica Nacional. Poseo un enorme gusto por las películas y series de televisión. Considero que el conocimiento es una de las mejores cosas que una persona puede tener y es por eso que día a día debe ser alimentado de una u otra manera.

Este sitio tiene como objetivo mostrar el avance de la asignatura de Cálculo Vectorial durante todo el semestre, a su vez se podrá encontrar cada uno de los temas expuestos en clases, deberes, pruebas y exámenes previamente resueltos, de acuerdo a la metodología del semestre 2016-B.

Existen frase que dejan un pensamiento dentro de nuestro ser y nos plantean varias interrogantes o reflexiones, en mi caso esa frase es:

"Vive como si fueras a morir mañana. Aprende como si fueras a vivir siempre"

— Mahatma Gandhi