Clase Nº 4

Distancia de un punto a un plano

De la figura anterior se puede observar que la distancia de D de P1 al plano es igual al valor absoluto de la proyección escalar de b sobre el vector normal n =(a, b, c ).
$$D=\left| { comp }_{ n }b \right| =\frac { \left| n\cdot b \right|  }{ \left| n \right|  } $$
$$D=\frac { \left| a({ x }_{ 1 }-{ x }_{ 0 })+b({ y }_{ 1 }-{ y }_{ 0 })+c({ z }_{ 1 }-{ z }_{ 0 }) \right|  }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } }  } $$
$$D=\frac { \left| ({ ax }_{ 1 }+{ by }_{ 1 }+{ cz }_{ 1 })-({ ax }_{ 0 }+{ b }y_{ 0 }+{ cz }_{ 0 }) \right|  }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } }  } $$

Puesto que P0 yace en el plano, sus coordenadas satisfacen la ecuación del plano y, por lo tanto, se tiene ax0 +by0+cz0 +d=0. Así, la fórmula para D se puede escribir como:

A continuación se adjunta  un ejemplo

Plano determinado por 3 puntos

Para expresar se recurre al producto mixto, el cual se expresa de la siguiente manera:
$$(\vec { r } -\vec { { r }_{ 0 } } )\cdot (\vec { { r }_{ 2 } } -\vec { { r }_{ 1 } } )\times (\vec { { r }_{ 3 } } -\vec { { r }_{ 1 } } )=0$$

Es decir se obtiene un producto mixto.

$$V=\vec { A } \times \vec { B } \cdot \vec { C } $$

Se debe tomar en cuenta que si el producto mixto es igual a cero, entonces los 3 vectores involucrados son coplanares.

El producto mixto geométricamente, representa el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas son los 3 vectores.

Bibliografía:

J, Stewart, Cálculo en Varias Variables, Cengage Learning