Clase Nº 5

La Recta

Una línea L en el espacio tridimensional se determina cuando se conoce un punto $$Po=({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 },{ z }_{ 0 })$$ sobre L y la dirección de L. En tres dimensiones la dirección de una recta se describe convenientemente por un vector, así que sea v un vector paralelo a L. Sea $$P=(x,y,z)$$ un punto arbitrario sobre L y sean r0 y r los vectores posición de P0 y P . Se observa que a es la representación del vector PoP, de tal manera se obtiene la ecuacion vectorial de la recta:

$$r={ r }_{ 0 }+tv$$

El parámetro t permite que la recta varíe dependiendo de su valor, es decir el valor si el vector v que da la dirección de la línea L se escribe en forma de componente como:

$$v=(a,b,c)\\ tv=(ta,tb,tc)\\ r=(x,y,z)\\ { r }_{ o }=({ x }_{ 0, }{ y }_{ 0 },{ z }_{ 0 })$$

Entonces la ecuación anterior se expresa de la siguiente manera:

$$(x,y,z)=({ x }_{ 0 }+tv,\quad { y }_{ 0 }+tv,\quad { z }_{ 0 }+tv)$$

Dos vectores son iguales si y sólo si las componentes correspondientes son iguales. Por lo

tanto, se tienen tres ecuaciones escalares, obteniéndose así las ecuaciones paramétricas de la recta:

Otra forma de escribir la ecuación es eliminando el parámetro t de la ecuación, obteniéndose así la ecuación simétrica de la recta:

$$\frac { x-{ x }_{ 0 } }{ a } =\frac { y-{ y }_{ 0 } }{ b } =\frac { z-{ z }_{ 0 } }{ c }$$

Observaciones:

La recta es un caso particular de una curva alaveada.

Se puede proyectar una recta sobre cualquier plano coordenado.

A continuación de presentan ejercicios de la recta, presentados en el siguiente video

Ecuación de la recta dados 2 puntos

Se presenta un ejemplo en el cual se obtiene la recta dando los parámetros de los dos puntos.

Recta determinada por dos planos

Asumiendo que se parten de dos planos, a manera de datos:

El vector director de la recta L, viene dado por el producto cruz entre los vectores normales de los planos:

$$\vec { a } =\left| \begin{matrix} i & j & k \\ { A }_{ 1 } & { B }_{ 1 } & { C }_{ 1 } \\ { A }_{ 2 } & { B }_{ 2 } & { C }_{ 2 } \end{matrix} \right| $$

Obteniéndose así:

En el siguiente enlace se observa un ejemplo de aplicación de este tema.

Haz de planos
Se hace referencia a un conjunto infinito de planos que pasan por una misma recta, entonces se tiene que  una pareja de planos que se intersectan, hay otros infinitos planos que también se intersectan en esta recta, a todos ellos se les denomina "haz de planos", su ecuación general es:

Se observa a continuación un ejemplo del mismo:

Distancia de un punto a la recta L

Definiéndose como la distancia mínima, es decir perpendicular entre un punto y una recta, se adjunta un video demostrativa de la misma.

Ecuación vectorial de la esfera

De la cual se obtienen las siguientes ecuaciones:

$$\left( \vec { r } -\vec { { r }_{ 0 } }  \right) ={ R }^{ 2 }\\ { (x-{ x }_{ 0 }) }^{ 2 }+{ (y-{ y }_{ 0 }) }^{ 2 }+{ (z-{ z }_{ 0 }) }^{ 2 }={ R }^{ 2 }$$

Bibliografía:

J, Stewart, Cálculo de varias variables, Cengage Learning